Como veremos durante esta sección, el caos cuántico es la aplicación por excelencia de la teoría de matrices aleatorias. Antes de ello, veamos qué es el caos cuántico: El caos clásico fue introducido por Lorentz al intentar explicar la evolución de un fluido atmosférico. Diremos que un sistema es clásicamente caótico, si la evolución de dos trayectorias muy cercanas en un determinado instante, diverge exponencialmente a lo largo del tiempo. Pese a carecer de una definición clara, una de las definiciones más aceptadas acerca del caos cuántico es la siguiente: Disciplina que estudia los sistemas cuánticos cuyo análogo clásico es caótico. Si intentamos hacer una analogía con un sistema cuántico, vemos rápidamente que no es aplicable el concepto de trayectoria, en virtud del principio de incertidumbre. Veamos que pasa si estudiamos entonces la divergencia de dos funciones de onda próximas en un tiempo t. Debido a la linealidad de la ecuación de Schrödinger, el operador evolución en mecánica cuántica es unitario, y por ello preserva la norma de las funciones de onda para todo instante de tiempo. Esto nos lleva a pensar en el estudio de la “caoticidad” de los sistemas cuánticos a través del espectro energético, es decir, el espectro de valores propios de la matriz hamiltoniana. Este hecho enlaza directamente con la teoría de matrices aleatorias . Veamos algunos ejemplos. El paradigma del caos cuántico son los billares cuánticos: partícula confinada en un potencial de paredes infinitas. Hagamos un estudio de billar clásico, y hagamos la analogía con un billar cuántico.

Una partícula clásica confinada en un billar rectangular sigue trayectorias bien definidas; su movimiento es totalmente determinista e integrable. Una partícula cuántica en un potencial rectangular de paredes infinitas es el análogo cuántico del sistema anterior. Si estudiamos las fluctuaciones de su espectro energético, observamos que sigue una estadística de Poisson. Consideremos ahora una partícula clásica en un billar de Sinai:

Las trayectorias divergen exponencialmente, como consecuencia del movimiento caótico. Considerando su análogo cuántico, y viendo el comportamiento de sus fluctuaciones espectrales, Bohigas Giannoni y Schmit propusieron (conjetura BGS) que las fluctuaciones espectrales de sistemas cuánticos cuyo análogo clásico es caótico son fluctuaciones tipo GOE. Es interesante comprobar que los resultados del Billar de Sinai comparados con los obtenidos para núcleos pesados son esencialmente iguales, pese a tratarse sistemas tan diferentes: Por una parte una simulación numérica de un billar cuántico, y por otro un sistema físico tan complejo como un núcleo atómico. Como se deduce del estudio de las correlaciones de corto alcance, un sistema cuántico que exhibe caos no puede tener degeneración en su espectro de energías (se observa en la P(s) que la probabilidad de que dos niveles tengan la misma energía es cero). Los niveles de energía tienden a “repelerse” y a mantener distancias aproximadamente equidistantes, pareciéndose a un espectro equiespaciado más que un sistema integrable:

TIPOS DE COLECTIVIDADES GAUSSIANAS:
GOE: Matrices reales y simétricas; invariantes bajo rotaciones y bajo inversión temporal.
GUE: Matrices complejas y hermíticas; no son invariantes bajo inversión temporal.
GSE: Matrices hermíticas y autoduales; invariantes bajo inversión temporal.
GDE: Matrices diagonales y reales; Aplicable a sistemas integrables.

Tesis:
Rafael Molina Fernández: Caos cuántico en sistemas hamiltonianos de muchos cuerpos
Armando Relaño Pérez: Caracterización de caos cuántico mediante series temporales
Laura Muñoz Muñoz: Caos cuántico en sistemas esquemáticos de partículas idénticas Diploma de Estudios Avanzados:
Armando Relaño Pérez: Caos cuántico y fractales
Laura Muñoz Muñoz: Estudio de las fluctuaciones espectrales en sistemas de partículas sin interacción
Trabajo Académicamente dirigido:
Eneritz Muguruza González: Determinación del carácter regular o caótico de la dinámica del núcleo
Óscar Moreno Díaz: Origen y estudio espectral del caos cuántico
Borja Peropadre López: Matrices aleatorias complejas: colectividad de Ginibre

Puedes echarle un vistazo a los trabajos de investigación relacionados con el caos cuántico: